الحسابات التوافقية

في الرياضيات و بالضبط في مجال النظرية الجبرية للأعداد،
الحسابيات التوافقية
هي مجموعة من الطرق التي تتيح حل
بعض المسائل الخاصة بالأعداد الصحيحة الطبيعية. و هي ترتكز على دراسة
الباقي الحاصل من القسمة الإقليدية.

في الرياضيات الأساسية, هذا المفهوم قليل الاستعمال. التوضيف الأكثر استعمالا هو المبرهنة الجيرية للأعداد^[1], التي تتضمن مجالا أكثر توسعا, تتضمن مثلا مفاهيم الأعداد الجبرية و مبرهنة غالوا^[2].

في الرياضيات التطبيقية, هذه العبارة لها استعمالات مكثفة في أساسيات الرياضيات في مختلف مجالات نظرية المعلوميات : التشفير, نظرية الترميز و المعلوميات. لعدد من الأدوات و خوارزميات داخل هذا المجال نجد اختبار الإوالية,التفكيك إلى جداء عوامل أولية^[3], استعمال مميزات مجموعة مثلا بالنسبة لتحويل فوريي المتقطع^[4] أو دراسة الخارج أو الخاصة بالأعداد الطبيعية, كما في دوال حدودية^[5].

حسب مختلف العلماء و المألفين و حسب مجال التطبيق, تعتبر هذه التمديدات, إما جزء من الحسابيات التوافقية^[6], أو تطبيقات, أو غير مصنفة. في صيغتها البسيطة, تحمل في بعض الأحيان حسابيات المنبه^[7]. المفهوم نظام توافقي مستعمل^[8] في الحسابيات التوافقية في كجموعات أعداد غير الأعداد الطبيعية.

المثال التاريخي حسابيات توافقية يرتكز على أعداد طبيعية. العدد n ثابت, الحياب التوافقي n ترتكز على تحديد كل الأعداد الطبيعية لباقي قسمتها على n ; هذا يمكن أن يظهر جليا في مثال حسابيات المنبه, الذي يوافق حالة n=12 :
العقرب الصغير يوجد في نفس الوضعية في لحظتبن تفصل بينهما اثنتا عشر ساعة,
و بهذا تصير الساعة 1 كالساعة 13. للحصول على حساب من نوع هذه المجموعة,
علينا التأكد من كون عمليتي الجمع و الضرب متكافئة مع تعريفهما.

بالنسبة لكوس فقد أضاف تحليل بنية هذه المجموعة, و المسماة حلقة ل تقارب و رمزها Z/nZ. تهتم أولا بدراسة عملية الجمع, الذي يعرف ب مجموعة سيكلية ذات المولد 1 ; ثم عملية الضرب, المستقل عن خصائص التوافق. إذا كان هذا عددا أوليا, نحصل على جسم. هذه المقاربة تسهل عملية المبرهنة في مجال الحسابيات. المثالان التاريخيان من كتاب Disquisitiones arithmeticae هما مبرهنة ويلسون^[9] و البرهنة على مبرهنة فيرما الصغرى ^[10].

الحساب التوافقي, في حالة لم يكن الترديد عددا أوليا, أكثر تعقيدا. مبرهنة الباقي الصيني تسمح d'élucider البنية. الحلقة غير داخلية, حيث يوجد قواسم الصفر, و هي أعداد إذا ضربت في أعداد غير منعدمة أعطت كنتيجة العدد صفر. عدد العناصر المقلوبة معطاة بواسطة مؤشر أويلر. و هي تتيح مثلا, تعميم مبرهنة فيرما الصغرى. logic circuit digital designdesign

المصدر: ويكبيديا